1
习题 6
7. 证:(1). ( ) 1, ( ) , 1.I I I I
(2). 设对应 的特征向量为 ,即 A ,从而 11A ,
则 111 A 1A ,即 1
1
A ,也就是 1
1
A
.
12. 证: (1) 设 rank(A)=r. 因为 )(max2 AAA
H ,矩阵 AA H 是
Hermite 矩阵,其特征值是非负实数,记为 1 0r ,于是得
12A ,且
)( AAtA HrF =
1
r
i
i
21 A
另一方面,
1
r
iF
i
A 1 2r r A ,故有
2
1
F FA A Ar
(2).
2
(3)
2
1
.A A m A
n
证明:由定理 6.2.9 及( 2)的结论,知
2 2
2 1 .A A A m A
于是
2A m A 。
设
0 ,1 1 1
max
n n
ij i j
i m j j
A a a ,又
0 0